Foirmiú, Coláistí agus ollscoileanna
Difreálaigh - cad é seo? Conas teacht ar an difreálach na feidhme?
Mar aon leis díorthaigh a bhfeidhmeanna difríochtaí - sé cuid de na coincheapa bunúsacha na calcalas difreálach, an phríomhchuid den anailís matamaiticiúla. Mar fite fuaite, an mbeirt acu céadta bliain éagsúla a úsáidtear go forleathan i réiteach beagnach gach fadhbanna a tháinig chun cinn le linn gníomhaíochta eolaíoch agus teicniúil.
Teacht chun cinn an coincheap de difreálach
Den chéad uair riamh a rinne sé soiléir go den sórt sin difreálach, ar dhuine de bhunaitheoirí (mar aon le Isaakom Nyutonom) calcalas difreálach matamaiticeoir cáiliúil Gearmáine Gotfrid Vilgelm Leybnits. Roimhe sin matamaiticeoirí 17ú haois. úsáidtear smaoineamh an-doiléir agus doiléir de roinnt infinitesimal "neamhroinnte" d'aon fheidhm a dtugtar, ag léiriú luach tairiseach an-bheag, ach ní cothrom le nialas, faoi bhun a bhfuil meas nach féidir leis an fheidhm a bheith simplí. Mar sin, go raibh sé ach céim amháin a thabhairt isteach coincheapa incrimintí infinitesimal argóintí feidhme agus a incrimintí faoi seach de na feidhmeanna is féidir a chur in iúl i dtéarmaí na ndíorthach ar an dara ceann. Agus tógadh an chéim beagnach go comhuaineach leis an dá thuas eolaithe mór.
Bunaithe ar an ngá atá ann aghaidh práinneach Meicnic fadhbanna praiticiúla a confront eolaíocht tapa ag forbairt tionscail agus teicneolaíocht, Newton agus Leibniz chruthaigh na bealaí coitianta a aimsiú ar an feidhmeanna an ráta athraithe (go háirithe maidir leis an luas meicniúil an comhlacht ar an trajectory ar eolas), a ba chúis le tabhairt isteach na coincheapa den sórt sin, mar an fheidhm díorthach agus difreálach, agus chomh maith leis fuair na réitigh fhadhb algartam inbhéartach mar is eol per se (athróg) luas trasnú chun teacht ar an cosán go bhfuil ba chúis leis an gcoincheap lárnach Ala.
I na n-oibreacha de Leibniz agus Newton smaoineamh ar dtús ba léir nach mbainfeadh difreálacha - comhréireach leis an incrimint na hargóintí bhun-Δh incrimintí feidhmeanna Δu is féidir a chur i bhfeidhm go rathúil leis an luach an Stát sin a ríomh. I bhfocail eile, tá siad amach gur féidir feidhm incrimint a bheith ag aon phointe (laistigh dá réimse shainmhínithe) sé sainráite trína díorthach araon Δu = y '(x) Δh + αΔh nuair α Δh - eile, a raghadh chun náid mar Δh → 0, i bhfad níos tapúla ná an Δh iarbhír.
De réir na bhunaitheoirí anailís matamaiticiúla, na difreálaigh - Sin go díreach an chéad téarma in incrimintí aon fheidhmeanna. Fiú gan a bhfuil seichimh coincheap teorainn atá sainmhínithe go soiléir a thuiscint intuitively go bhfuil claonadh an luach difreálach an díorthaigh bhfeidhmeoidh Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).
Murab ionann agus Newton, a bhí go príomha fisiceoir agus gaireas matamaitice a mheas mar uirlis cúnta chun staidéar a dhéanamh ar fhadhbanna fisiciúla, d'íoc Leibniz aird níos mó a ghabhann leis an foireann uirlisí, lena n-áirítear córas siombailí amhairc agus sothuigthe luachanna matamaitice. 'Sé a mhol an nodaireacht chaighdeánach fheidhm difreálaigh dy = y' (x) dx, dx, agus an díorthach na feidhme argóint mar a y gaol '(x) = dy / dx.
An sainmhíniú nua-aimseartha
Cad é an difríocht ó thaobh na matamaitice nua-aimseartha? Tá sé a bhaineann go dlúth leis an gcoincheap incrimint athróg. Má ghlacann an athróg y an chéad luach y y = 1, ansin y = y 2, is é an difríocht y 2 ─ y 1 a dtugtar an luach incrimint y.
Más féidir leis an luach Δu fheidhm treallach y = f (x) a léiriú mar Δu = A Δh + α, i gcás gurb é aon spleáchas ar Δh, t. E. A = CONST don x tugadh, agus an téarma α nuair Δh → 0 claonadh chun tá sé níos tapúla ná an Δh iarbhír, ansin an chéad cheann ( "máistir") ar feadh téarma comhréireach Δh, agus tá sé le haghaidh y = f (x) difreálach sonraithe leis dy nó df (x) (léamh "y de", "de eff ó X"). Dá bhrí sin, na difríochtaí - a "príomh" líneach maidir leis na comhpháirteanna na n-incrimintí feidhmeanna Δh.
míniú meicniúil
Lig s = f (t) - an t-achar i líne dhíreach ag gluaiseacht pointe ábhartha ón seasamh tosaigh (t - am taistil). Incrimint Δs - is é an pointe mbealach le linn eatramh ama Δt, agus na ds difreálach = f '(t) Δt - an cosán, a bheadh pointe a choinneáil ar feadh an am céanna, Δt, más rud é choinnigh sé an luas f' (t), bainte amach ag am t . Nuair a bheidh an ds Δt cosán samhailfhadú infinitesimal difriúil ó na Δs iarbhír infinitesimally bhfuil ord níos airde maidir le Δt. Mura bhfuil an luas ag an am t cothrom le nialas, tugann na ds garluach phointe claonadh beag.
léirmhíniú geoiméadrach
Lig bhfuil an líne L an graf de y = f (x). Ansin Δ x = méadar cearnach, Δu = QM '(féach. Figiúr thíos). Tangent MN Briseann Δu gearrtha i dhá chuid, QN agus NM '. An chéad agus is Δh comhréireach QN = méadar cearnach ∙ tg (QMN uillinn) = Δh f '(x), t. Is E QN difreálach dy.
An dara cuid den difríocht Δu NM'daet ─ dy, nuair a laghdaíonn Δh fad → 0 NM 'fiú níos tapúla ná an incrimint an argóint, ie tá sé an t-ordú smallness airde ná Δh. Sa chás seo, más rud é f '(x) ≠ 0 (tadhlaí neamhchomhthreomhara damh) codanna QM'i QN coibhéiseach; i bhfocail eile 'laghduithe go tapa (ord smallness dá airde) ná an incrimint iomlán Δu = QM' NM. Tá sé seo soiléir i bhFíor (deighleog druidim M'k M NM'sostavlyaet gach céatadán QM 'deighleog níos lú).
Mar sin, difreálach grafach tá feidhm treallach comhionann leis an incrimint ar an comhordú an tadhlaí.
Díorthacha agus difreálach
Fachtóir sa chéad téarma fheidhm abairt incrimint ar cóimhéid leis an luach a f díorthach '(x). Dá bhrí sin, an caidreamh seo a leanas - '(x) = f (x) Δh nó df' (x) Δh dy = f.
Tá sé ar eolas go bhfuil an incrimint an argóint neamhspleách comhionann lena difreálach Δh = dx. Dá réir sin, is féidir linn a scríobh: f '(x) dx = dy.
Lorg (uaireanta sin a bheith ar an "cinneadh") difreálaigh é a dhéantar ag na rialacha céanna le haghaidh na ndíorthach. Tá liosta díobh thíos.
Cad é níos uilíoch: an incrimint an argóint nó a difreálach
Anseo tá sé riachtanach a dhéanamh ar roinnt soiléirithe. Ionadaíocht luach f '(x) difreálacha Δh fhéadfadh x mar argóint nuair a bhreithniú. Ach is féidir an fheidhm a bheith casta, inar féidir le x Is feidhm de chuid an argóint t. Ansin, an ionadaíocht ar an abairt difreálach f '(x) Δh, mar riail, go bhfuil sé dodhéanta; ach amháin i gcás líneach spleáchas x = ag + b.
Maidir leis an fhoirmle f '(x) dx = dy, ansin i gcás argóint x neamhspleách (ansin dx = Δh) i gcás an spleáchas paraiméadracha x t, tá sé difreálach.
Mar shampla, is é an abairt 2 x Δh do y = x 2 a difreálach nuair is x argóint. Táimid anois x = t 2 agus glacadh t argóint. Ansin, y = x 2 = t 4.
Ina dhiaidh sin (t + Δt) 2 = t 2 + 2tΔt + Δt 2. Mar sin Δh = 2tΔt + Δt 2. Dá bhrí sin: 2xΔh = 2t 2 (2tΔt + Δt 2).
Ní hé seo an focal i gcomhréir leis Δt, agus dá bhrí sin anois nach bhfuil 2xΔh difreálach. Is féidir é a thaispeáint suas ón gcothromóid y = x 2 = t 4. Is comhionann dy = 4t 3 Δt.
Glacaimid 2xdx abairt, is é an y difreálach = x 2 d'aon argóint t. Go deimhin, nuair atá x = t 2 a fháil dx = 2tΔt.
Mar sin, 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 .DELTA.t, t. E. Na difreálaigh abairt taifeadta dhá athróg éagsúla ag an am céanna.
In ionad incrimintí difríochtaí
Má f '(x) ≠ 0, ansin Δu agus choibhéis dy (nuair Δh → 0); más rud é f '(x) = 0 (brí agus dy = 0), nach bhfuil siad coibhéiseach.
Mar shampla, más rud é y = x 2, ansin Δu = (x + Δh) 2 ─ x 2 = 2xΔh + Δh 2 agus dy = 2xΔh. Más rud é x = 3, ansin ní mór dúinn Δu = 6Δh + Δh 2 agus dy = 6Δh atá coibhéiseach dlite Δh 2 → 0, nuair nach bhfuil x = 0 luach Δu = Δh 2 agus dy = 0 coibhéiseacha a ghlacadh.
Seo Go deimhin, mar aon leis an struchtúr simplí an difreálach (m. E. Linearity maidir le Δh), is minic a úsáidtear i ríomh neas, ar an toimhde go Δu ≈ dy do Δh beag. Faigh go bhfuil an fheidhm difreálach de ghnáth níos éasca ná mar a ríomh an luach beacht ar an incrimint.
Mar shampla, ní mór dúinn ciúb miotalach le ciumhais x = 10.00 cm. Ar téamh an imeall lengthened ar Δh = 0.001 cm. Conas a mhéadú toirt ciúb V? Táimid tar éis V = x 2, ionas go mbeidh dv = 3x 2 = Δh 3 ∙ ∙ 10 Feabhra 0/01 = 3 (cm 3). Méadaithe ΔV difreálach coibhéiseach dv, ionas go mbeidh ΔV = 3 cm 3. Bheadh ríomh iomlán a thabhairt 3 ΔV = 10,01 ─ Márta 10 = 3.003001. Ach mar thoradh ar na digití ach amháin an chéad iontaofa; dá bhrí sin, tá sé fós riachtanach do bhabhta suas go dtí 3 cm 3.
Gan amhras, tá an cur chuige úsáideach ach amháin má tá sé indéanta a meastachán ar luach imparted le earráid.
Feidhm Difreálach: samplaí
A ligean ar iarracht a dhéanamh teacht ar an difreálach na feidhme y = x 3, a aimsiú ar an díorthach. Lig dúinn a thabhairt ar an argóint incrimint Δu agus a shainmhíniú.
Δu = (Δh + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 + Δh (Δh 3xΔh 2 + 3).
Anseo, nach bhfuil an chomhéifeacht A = 3x 2 ag brath ar Δh, ionas go mbeidh an chéad téarma comhréireach Δh, an duine eile 3xΔh Δh 2 + 3 nuair Δh → 0 laghduithe níos tapúla ná an incrimint an argóint. Dá bhrí sin, is comhalta de 3x 2 Δh an difreálach y = x 3:
dy = 3x 2 Δh = 3x 2 dx nó d (x 3) = 3x 2 dx.
Wherein d (x 3) / dx = 3x 2.
Ar d Teacht againn anois ar an fheidhm y = 1 / x ag an díorthach. Ansin d (1 / x) / dx = ─1 / x 2. Mar sin dy = ─ Δh / x 2.
Difreálaigh feidhmeanna ailgéabracha bunúsacha Tugtar thíos.
ríomhaireachtaí neas ag baint úsáide as difreálach
Measúnú a dhéanamh ar an fheidhm f (x), agus a f díorthach '(x) ag bhfuil x = a deacair go minic, ach an rud céanna in aice le x = a éasca. Ansin teacht ar an gcabhair ar an abairt neas
f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).
Tugann sé seo garluach na feidhme ag incrimintí beag trína difreálach Δh f '(a) Δh.
Dá bhrí sin, tugann an fhoirmle slonn thart don fheidhm ag an gcríochphointe ar chuid de a bhfuil fad Δh mar shuim dá luach ar an pointe tosaigh ar an chuid (x = a) agus an difreálach sa phointe tosaigh céanna. Léiríonn Cruinneas an modh chun na luachanna na feidhme seo thíos an líníocht.
Ach scagtha agus an abairt cruinn chun luach na feidhme x = a + Δh a thug incrimintí foirmle finite (nó, mar mhalairt air, foirmle Lagrange s)
f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),
sa chás go bhfuil san eatramh ó x = a le x = a + Δh an bpointe x = a + ξ, cé go bhfuil a seasamh cruinn anaithnid. Ceadaíonn an fhoirmle bheacht chun meastóireacht a dhéanamh ar an earráid ar an fhoirmle neas. Má chuir muid san fhoirmle Lagrange ξ = Δh / 2, cé go scoirfidh sé de bheith cruinn, ach tugann, mar riail, cur chuige i bhfad níos fearr ná an abairt bunaidh i dtéarmaí an difreálach.
foirmlí Meastóireacht earráid trí chur i bhfeidhm difreálach
uirlisí tomhais , i bprionsabal, míchruinn, agus a thabhairt do na sonraí tomhais a fhreagraíonn don earráid. Tá siad tréithrithe trí theorainn an earráid iomlán, nó, i mbeagán focal, an earráid teorainn - deimhneach, níos mó ná soiléir an earráid i luach iomlán (nó ar a mhéad is ionann agus air). Theorannú an earráid choibhneasta a dtugtar an chomhrann fhaightear tríd dó leis an luach glan de na luach tomhaiste.
Lig cruinn fhoirmle y = f (x) fheidhm a úsáidtear chun vychislyaeniya y, ach tá an luach ar x ar an toradh an tomhais, agus dá bhrí sin tugann an earráid y. Ansin, chun teacht ar an teorainn earráid absalóideach │Δu│funktsii y, ag úsáid na foirmle
│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,
i gcás ina │Δh│yavlyaetsya argóint imeallach earráid. Ní mór │Δu│ chainníocht a chothromú suas, mar Is ríomh míchruinn féin in áit an incrimint ar an ríomh difreálach.
Similar articles
Trending Now