Calculus Difreálach Feidhmeanna amháin agus roinnt rudaí éagsúla

Is calcalas difreálach a chur le brainse de anailís matamaiticiúla, a scrúdaíonn an díorthach, difreálaigh agus a n-úsáid sa staidéar feidhmeanna.

Scéal

calculus Difreálach chun cinn mar dhisciplín neamhspleách sa dara leath den 17ú haois, a bhuíochas leis an obair a Newton agus Leibniz, a chéile na forálacha bunúsacha i ríomh na difríochtaí agus faoi deara an ceangal idir comhtháthú agus difreálú. Ós rud é smacht fhorbair sé chomh maith leis an ríomh na integrals, rud a arb é an bhonn na anailís matamaiticiúla. An chuma ar na calculi oscail tréimhse nua-aimseartha ar fud an domhain mhatamaiticiúil agus ba chúis leis an teacht chun cinn disciplín nua san eolaíocht. Chomh maith leis sin síneadh ar an bhféidearthacht na matamaitice a chur i bhfeidhm sna heolaíochtaí nádúrtha agus san innealtóireacht.

coincheapa bunúsacha

Tá calcalas difreálach bunaithe ar na coincheapa bunúsacha na matamaitice. Is iad sin: réaduimhir, leanúnachas agus teorainn na feidhme. Tar éis tamaill, tá siad tógtha le cuma nua-aimseartha, a bhuíochas leis an calcalas lárnach agus difreálach.

An próiseas a chruthú

Foirmiú na calcalas difreálach i bhfoirm iarratais, agus ansin an modh eolaíoch a tharla roimh theacht chun cinn teoiric fealsúnachta, a cruthaíodh ag Nikolay Kuzansky. Tá a chuid oibre a mheastar a bheith ina forbairt éabhlóideach ó eolaíocht ársa breithiúnais. In ainneoin an bhfíric nach raibh an fealsamh é féin matamaiticeoir, tá sé ar son forbairt na heolaíochta matamaiticiúla undeniable. Cusa, ar cheann de na chéad amach na comaoine na huimhríochta mar an eolaíocht is cruinne, mata ag cur an t-am a thabhairt faoi cheist.

I matamaiticeoirí ársa bhí critéar uilíoch aonad, agus an fealsamh molta mar Infinity bheart nua ar ais ar an líon beacht. I dtaca leis seo ionadaíocht inverted cruinnis san eolaíocht matamaiticiúla. eolas eolaíoch, ina thuairim, roinnte réasúnach agus Chliste isteach. Is é an dara níos cruinne, i gcomhréir leis an t-eolaí, ós rud é an iar-a thugann torthaí anseo ach tuairim.

smaoineamh

An smaoineamh bunúsach agus an coincheap de calcalas difreálach a bhaineann leis an bhfeidhm i gcomharsanacht beag de na pointí áirithe. Chun seo tá sé riachtanach a chruthú gaireas matamaiticiúla chun staidéar a iompar i neighborhood beag de na pointí suiteáilte in aice leis an iompar de feidhm líneach nó polynomial feidhmiú. Bunaithe ar an sainmhíniú ar dhíorthach agus difreálach.

Teacht chun cinn an coincheap an díorthach ba chúis le líon mór de na fadhbanna a bhaineann le heolaíochtaí nádúrtha agus sa mhatamaitic, a ba chúis le cinneadh na luachanna teorainneacha den chineál céanna.

Ceann de na príomhthascanna a thugtar mar shampla, ag tosú leis na ranganna scoile sine é, chun a chinneadh an luas tairiscint de phointe i líne dhíreach agus tógáil na líne tadhlaí an gcuar. An difríocht atá nasctha leis an, ós rud is féidir le comhfhogasú fheidhm i gcomharsanacht bheag an pointe de feidhm líneach.

I gcomparáid leis an gcoincheap díorthach feidhm de chuid athróg fíor, an sainmhíniú ar difreálacha Gabhann ach ar an fheidhm chineál ginearálta, go háirithe an íomhá de spás Eoiclídeach go ceann eile.

díorthach

Lig an mbogann pointe i dtreo an y-ais, de thuras a chur orainn x, a thomhas ó thús nóiméad. Déan cur síos den sórt sin a ghluaiseacht is féidir ag na feidhme y = f (x), a bhfuil baint gach uair pointe x chomhordú pointe displaceable. Seo glaoch fheidhm i Meicnic dlí de tairiscint a ghlacadh. Is é an tréith is mó de an tairiscint, go háirithe míchothrom, an treoluas mheandarach. Nuair a bhíonn an pointe ar athraíodh a ionad ar feadh an y-ais de réir dhlí na Meicnic, pointe ama randamach fhaigheann sé x f (x) a chomhordú. I am bpointe x + Δh, áit a seasann Δh an incrimint ama, beidh sé kordinaty f (x + Δh). Dá bhrí sin déanta foirmle Δy = f (x + Δh) - f (x), ar a dtugtar feidhm incrimint. Is pointe ar an cosán trasnú le linn an t-am ó x x + Δh.

I dtaca leis an tharla an treoluas ag díorthach am á riar. An díorthach aon fheidhm ag pointe seasta ar a dtugtar an teorainn (ag glacadh leis tá sé ann). Is féidir é a chur ar aghaidh chuig carachtair áirithe:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, DF (x).

An próiseas an díorthach na difreála glao a ríomh.

calculus Difreálach Feidhmeanna roinnt rudaí éagsúla

Tá an modh seo i bhfeidhm nuair a staidéar fheidhm, roinnt rudaí éagsúla a ríomh. Nuair a tá dhá athróg x agus y, an díorthach páirteach i leith x ag an bpointe A dtugtar an díorthach an fheidhm seo i x le y seasta.

Féadfar é a léiriú trí na siombailí seo a leanas:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x agus ∂f (x, y) '/ ∂x.

scileanna a theastaíonn

D'fhonn a fhoghlaim go rathúil agus a bheith in ann a réiteach scileanna atá de dhíth diffury sa lánpháirtíocht agus difreálú. Chun é a dhéanamh níos éasca le tuiscint na cothromóidí difreálach mór, a thuiscint díorthach ábhar agus gan téarma lárnach. Chomh maith leis sin ní Gortaítear a fhoghlaim a lorg ar an díorthach na feidhme intuigthe. Tá sé seo mar gheall ar an bhfíric go mbeidh sa phróiseas na foghlama a úsáid go minic integrals agus difreálú.

Cineálacha cothromóidí difreálach

Beagnach an obair ar fad a rialú a bhaineann leis na cothromóidí difreálach chéad-ordú, tá 3 cineálacha cothromóidí: aonchineálach, le hathróga doscartha, inhomogeneous líneach.

Tá speicis níos mó annamh cothromóidí le difreálaigh iomlán, cothromóid Bernoulli, agus daoine eile ann chomh maith.

réitigh Bunúsaigh

Chun tús a chur, ba chóir dúinn cuimhneamh go bhfuil cothromóid ailgéabrach de chúrsa scoile. Go bhfuil siad na hathróga agus na huimhreacha. Chun réitigh an chothromóid traidisiúnta ba cheart teacht ar neart na n-uimhreacha a shásaíonn coinníoll sonraithe. De ghnáth, tá na cothromóidí fréimhe amháin, agus ba chóir do bhailíochtú in ionad ach an luach i bhfeidhm anaithnid.

Is é an chothromóid dhifreálach cosúil leis seo. Go ginearálta, cuimsíonn cothromóid an chéad ordú:

• athróg neamhspleách.
• A díorthach an chéad fheidhm.
• Feidhm nó athróg spleách.

I roinnt cásanna, d'fhéadfadh go mbeadh duine ar bith anaithnid, x nó y, ach nach bhfuil sé chomh tábhachtach céanna go bhfuil sé riachtanach go mbeadh an chéad díorthach, gan aon díorthaigh ord níos airde don réiteach agus an calcalas difreálach a bhí fíor.

Réitigh an chothromóid dhifreálach - ciallaíonn sé a fháil ar an sraith de gach feidhm atá abairt tugadh oiriúnach. gléasanna den sórt sin feidhmeanna dtugtar go minic an rialú réiteach ginearálta.

calcalas lárnach

Tá calcalas Integral cheann de na ranna den anailís matamaiticiúla, a scrúdaíonn an coincheap de dhílis, airíonna agus modhanna a ríomh.

Is minic a tharlaíonn ríomh an dhílis nuair achar cruth cuarlíneach ríomh. Trí ciallaíonn sé seo limistéar teorann, i dtreo a d'fhéadfadh limistéar réamhshocraithe an chrutha polagán inscribed le méadú de réir a chéile ina láimh, agus ar an taobh sonraí a chur ar bhun aon luach beag treallach sonraithe cheana.

Is é an príomh-smaoineamh i ríomh an cheantair de gach cruth geoiméadrach an achar dronuilleoige a ríomh, ansin tá fianaise ann go bhfuil a limistéar comhionann leis an táirge ar fad faoi leithead ann. Nuair a thagann sé chun céimseata, ansin go léir na tógálacha ag baint úsáide as rialóir agus compás, agus ansin is é an cóimheas idir fad agus leithead le luach réasúnach. Is féidir Nuair a bheidh an achar triantáin ceart ríomh, cinnfear é go má chuir tú triantán chugainn, tá dronuilleog déanta. I réimse an chomhthreomharáin a ríomh i modh cosúil leis sin ach beagán níos casta, laistigh de dronuilleog agus triantán. I réimse polagán é a mheas ag triantáin san áireamh ann.

Le linn an trócaire treallach, ní dhéanann an modh d'oirfeadh an cuar. Má sos againn é i cearnóga aonair, beidh sé fós áiteanna gan líonadh. Sa chás seo, déan iarracht úsáid a bhaint as dhá chóta, le dronuilleoga thuas agus thíos, mar thoradh ar na san áireamh leis ghraf na feidhme agus ní fholaíonn sé. Is Tábhachtach anseo ar bhealach a bhriseadh ar na dronuilleoga. Chomh maith leis sin, má táimid a an sos níos mó agus níos mó a laghdú, ba cheart an t-achar an barr agus bun le chéile ar luach áirithe.

Ba chóir filleadh ar modh chun scaradh i dronuilleoga. Tá dhá bhealach coitianta.

ar bhonn foirmiúil Riemann sainmhíniú ar an dhílis, cruthaithe ag Leibniz agus Newton, mar réimse na subgraph. Sa chás seo, mheasamar figiúr comhdhéanta de líon áirithe de dronuilleoga ingearacha a gheofar tríd an t-eatramh. Nuair briseadh laghdú bhfuil teorainn lena mbaineann an limistéar laghdaithe sórt sin a figiúr, an teorainn ar a dtugtar an dhílis Riemann feidhm ag eatramh sonraithe.

Tá an dara modh a thógáil ar an Lebesgue lárnach, arb é an bhfíric go bhfuil san áit scaradh limistéar ainmnithe ar chuid den integrand agus a thiomsú ansin suim dhílis de na luachanna a fhaightear sna codanna, ar roinnt eatraimh a raon luachanna, agus ansin achoimriú leis na bearta comhfhreagracha íomhánna inbhéartach na integrals.

áiseanna nua-aimseartha

Ceann de na príomhbhuntáistí chun staidéar a dhéanamh difreálach agus calculus lárnach Fikhtengol'ts Scríobh - "an difreálach agus calcalas lárnach." Is é a téacsleabhar uirlis bunúsach maidir le staidéar a dhéanamh ar anailís matamaiticiúla, a withstood go leor eagrán agus aistriúchán go teangacha eile. Cruthaithe do mhic léinn agus ar feadh i bhfad a úsáidtear i réimse na n-institiúidí oideachais mar cheann de na buntáistí is mó de na staidéir. Tugann sé eolas teoiriciúil agus scileanna praiticiúla. An Chéad a foilsíodh i 1948.

na feidhme taighde Algartam

Iniúchadh a dhéanamh ar na modhanna fheidhm calcalas difreálach, ní mór duit a leanúint a thugtar cheana algartam:

1. Faigh an bhfearann na feidhme.
2. Faigh na fréamhacha na cothromóide a thugtar.
3. Ríomh na foircinn. Chun seo a dhéanamh, ní mór dúinn a ríomh an díorthach agus an pointe ina bhfuil sé cothrom le nialas.
4. Táimid ag ionad an luach a fhaightear i eq.

Cineálacha de cothromóidí difreálach

Rialú an chéad ordú (ar shlí eile, calculus difreálach athróg amháin) agus a n-cineálacha:

• Le athróg doscartha chothromóid: f (y) dy = g (x) dx.
• An chothromóid dhifreálach nó fheidhm calculus is simplí de athróg amháin, a bhfuil an fhoirmle: y '= f (x).
• An chéad-ordú rialaithe nonuniform líneach: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli chothromóid dhifreálach: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Cothromóid difreálaigh iomlán le: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Na cothromóidí difreálach dara ord agus a n-cineálacha:

• chothromóid dara ordú difreálach aonchineálach líneach le ^{comhéifeachtaí tairiseach: y n + py '+ qy} = 0 p, q mbaineann R.
• Inhomogeneous dara ordú chothromóid dhifreálach líneach le ^luach comhéifeachtaí ^{tairiseach: y n + py '+ qy} = f (x).
• Aonchineálach ^chothromóid dhifreálach ^{líneach: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, agus inhomogeneous dara ord ^{cothromóid: y n + p (x)} y' + q (x) = y f (x).

cothromóidí difreálach na n-orduithe níos airde agus a cineálacha:

• An chothromóid dhifreálach, rud a ligeann laghdú ar an ^{ordú: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• A cothromóid líneach ord níos airde ^{_{aonchineálach: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, agus ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Céimeanna an fhadhb a réiteach leis an chothromóid dhifreálach

Le cabhair ó rialú iargúlta bhfuil réiteach, ní hamháin matamaitic nó fadhbanna fisiciúla, ach freisin ar na fadhbanna éagsúla de bhitheolaíocht, eacnamaíocht, socheolaíocht agus daoine eile. In ainneoin an raon leathan ábhar, ba chóir a leanúint sraith loighic amháin le haghaidh a réiteach ar na fadhbanna:

1. Tharraingt suas a rialú. Ceann de na céimeanna is deacra, a éilíonn cruinneas is mó, mar go mbeidh aon dearmad dtiocfaidh torthaí go hiomlán mícheart. Is gá a chur san áireamh go léir na nithe a fhearann ar phróisis agus coinníollacha tosaigh a chinneadh. Ba cheart a bheith bunaithe freisin ar fhíorais agus conclúidí loighciúil.
2. Maidir le cothromóidí a réiteach. Tá an próiseas níos éasca chuig an gcéad phointe, ós rud é éilíonn sé ach bhfeidhm go docht de ríomhaireachtaí matamaiticiúla.
3. Anailís agus meastóireacht a dhéanamh ar na torthaí. Ba chóir go réiteach Díorthaithe a mheasúnú i gcás shuiteáil luach praiticiúil agus teoiriciúil ar an toradh.

Sampla d'úsáid difreálach cothromóidí sa leigheas

Ag baint úsáide as an rialú iargúlta i réimse na míochaine atá le fáil i dtógáil na samhail mhatamaiticiúil eipidéimeolaíoch. Níor chóir dúinn dearmad go bhfuil na cothromóidí le fáil freisin i mbitheolaíocht agus ceimice, atá in aice leis an leigheas, toisc go imríonn sé ról tábhachtach staidéar a dhéanamh ar dhaonraí bitheolaíochta éagsúla agus phróisis cheimiceacha i gcorp an duine.

Sa sampla seo, is féidir leis an leathadh eipidéim ionfhabhtú a chóireáil i pobal scoite. Na háitritheoirí roinnte i dtrí chineál:

• Galraithe, (is tréimhse goir gearr) líon na n-x (t), a bhí comhdhéanta de dhaoine aonair, iompróirí tógálach, gach ceann acu tógálach.
• Cuimsíonn an dara cineál aonair so-ghabhálach y (t) Is féidir, a bheith ionfhabhtaithe trí theagmháil le ionfhabhtaithe.
• Áirítear ar an tríú cineál daoine teasfhulangacha z (t), atá díolmhaithe nó a cailleadh de bharr breoiteachta.

Líon iasc i gcónaí, a choinneáil breithe, básanna nádúrtha agus imirce ní mheastar. Beidh Ag croílár dhá hipitéisí.

Is galar Céatadán ag pointe éigin arb ionann í x (t) y (t) (Bonn tuisceana atá bunaithe ar an teoiric go bhfuil líon na gcásanna i gcomhréir le líon na n crosbhealaí idir othair agus freagrúil, sa chéad chomhfhogasú i gcomhréir leis x (t) y (t)), i Dá bhrí sin, tá líon na gcásanna a mhéadú, agus líon na laghduithe so-ghabhálach ag ráta a ríomh de réir na foirmle tua (t) y (t) (a> 0).

Líon na n-ainmhithe nach freagróirí a fuair bás nó a fuarthas díolúine, tháinig méadú ag ráta atá i gcomhréir le líon na gcásanna, bx (t) (b> 0).

Mar thoradh air sin, is féidir leat a chur ar bun córas cothromóidí leis na trí tháscaire ar bhonn a chuid conclúidí.

úsáid SAMPLA eacnamaíocht

Tá calcalas Difreálach úsáidtear go minic i anailís eacnamaíoch. Is é an tasc is mó san anailís eacnamaíoch a mheastar a bheith ar an staidéar a dhéanamh ar na luachanna an gheilleagair, atá taifeadta i bhfoirm na feidhme. Tá sé in úsáid chun fadhbanna a réiteach cosúil le hathruithe i méaduithe cánach ioncaim díreach tar éis, táillí iontrála, athruithe i ioncam nuair a athrú ar an luach an táirge, an méid is féidir chomhréir in ionad fostaithe ar scor le trealamh nua. Chun fadhbanna den sórt sin a réiteach, tá sé riachtanach a thógáil feidhm chumarsáide na n-athróg ag teacht isteach, a bhfuil, tar éis staidéar á dhéanamh ag calcalas difreálach.

tá sé riachtanach go minic chun teacht ar an fheidhmíocht is fearr is féidir i réimse eacnamaíoch: táirgiúlacht uasta, an t-ioncam is airde, gcostas is ísle agus mar sin de. Tá gach comhpháirt den sórt sin is feidhm de chuid argóintí amháin nó níos mó. Mar shampla, is féidir leis an táirgeadh a mheas mar fheidhm de saothair agus caipitil. I dtaca leis sin, is féidir teacht ar luach oiriúnach a laghdú go dtí a aimsiú ar an t-uasmhéid nó íosmhéid feidhme na n-athróg amháin nó níos mó.

Fadhbanna den sórt sin a chruthú d'aicme fadhbanna extremal i réimse na heacnamaíochta, a bhfuil de dhíth ort calcalas difreálach. Nuair a bhíonn an táscaire eacnamaíoch a chur chun íoslaghdú nó a uasmhéadú mar fheidhm de pharaiméadair eile, beidh an cóimheas incriminte fheidhm uasphointe leis na hargóintí claonadh a bhíonn go nialas má claonadh an incrimint an argóint go nialas. Seachas sin, nuair a bíonn sórt sin a dearcadh ar luach deimhneach nó diúltach áirithe, nach bhfuil an pointe a shonraítear oiriúnach, mar is féidir trí mhéadú nó a laghdú argóint a athrú luach ag brath sa treo atá ag teastáil. I téarmaíocht calcalas difreálach, chiallódh sé seo go bhfuil na coinníollacha is gá do fheidhm is mó a luach náid dá díorthaigh.

Níl an geilleagar fhadhb neamhchoitianta a aimsiú ar an extremum feidhme de roinnt rudaí éagsúla, mar go bhfuil táscairí eacnamaíocha comhdhéanta de go leor fachtóirí. ceisteanna den sórt sin Tuigtear go maith i an teoiric na feidhmeanna na n-athróg agus arís eile, an modh an difreálach a ríomh. Níl measc fadhbanna den sórt sin a uasmhéadú amháin agus feidhm a íoslaghdú, ach freisin teorainneacha. Baineann na ceisteanna le cláir matamaiticiúla, agus tá siad ag réiteach le cabhair ó na modhanna a forbraíodh go speisialta bunaithe freisin ar an brainse den eolaíocht.

I measc na modhanna calcalas difreálach a úsáidtear sa gheilleagar, is rannóg tábhachtach an tástáil deiridh. Sa réimse eacnamaíoch, tagraíonn an téarma do shraith de modhanna taighde ar fheidhmíocht athraitheach agus torthaí nuair a athraíonn tú ar an toirt an cruthú, tomhaltas, bunaithe ar anailís ar a luachanna teorainneacha. Teorainn tásc mheas díorthach nó na díorthaigh páirteach le roinnt rudaí éagsúla.

calculus Difreálach de roinnt rudaí éagsúla - topaic thábhachtach anailíse matamaiticiúla. I gcás mionstaidéar, is féidir leat é a úsáid ar éagsúlacht na áiseanna teagaisc d'institiúidí ardoideachais. Ceann de na Fikhtengol'ts cruthaíodh is cáiliúla - "an difreálach agus calcalas lárnach." Cé mhéad ar an t-ainm le haghaidh an réiteach na cothromóidí difreálach tábhacht nach beag a bheith acu ar na scileanna a bheith ag obair le integrals. Nuair a tá calcalas difreálach feidhmeanna athróg amháin, éiríonn an gcinneadh níos éasca. Cé go bhfuil, ba cheart a thabhairt faoi deara, leanann sé na rialacha bunúsacha céanna. Go praiticiúil, chun imscrúdú a dhéanamh ar an fheidhm atá leis an calcalas difreálach, ach lean an algartam atá ann cheana, a thugtar sa scoil ard, agus gan ach beagán casta nuair a tugadh isteach na n-athróg nua.