Líneach agus chothromóid dhifreálach aonchineálach den chéad ordú. samplaí de réitigh

I mo thuairimse, ba chóir dúinn tús a chur leis an stair an uirlis matamaiticiúla glórmhar mar cothromóidí difreálach. Cosúil le gach na difreálach agus calcalas lárnach, bhí invented na cothromóidí ag Newton ag deireadh an 17ú haois. Chreid sé go raibh sé ar a fhionnachtain chomh tábhachtach go fiú an teachtaireacht criptithe, is féidir a lá atá inniu ann a aistriú mar a leanas: ". Gach na dlíthe an nádúir cur síos ag cothromóidí difreálach" Féadfaidh sé cosúil i gcéill, ach tá sé fíor. Aon dlí na fisice, ceimice, bitheolaíocht, a chur síos ag na cothromóidí.

An mór le forbairt agus cruthú an teoiric na cothromóidí difreálach bhfuil matamaitic de Euler agus Lagrange. Cheana féin sa 18ú haois fuair siad agus a fhorbairt an méid atá ag déanamh staidéir anois ag na cúrsaí ollscoile sinsearach.

Cloch mhíle nua sa staidéar na cothromóidí difreálach thosaigh a bhuíochas sin do Anri Puankare. Chruthaigh sé ina "teoiric cáilíochtúil na cothromóidí difreálach", a, in éineacht leis an teoiric na feidhmeanna na n-athróg casta go mór le bunú topology - an eolaíocht spáis agus a n-airíonna.

Cad iad cothromóidí difreálach?

Tá a lán daoine eagla ar an abairt "chothromóid dhifreálach". Mar sin féin, san Airteagal seo beidh muid ag leagan amach go mionsonraithe an croílár an uirlis an-úsáideach matamaitice nach bhfuil i ndáiríre chomh casta mar is cosúil as an teideal. D'fhonn tús a labhairt faoi chothromóid dhifreálach chéad-ordú, ní mór duit an chéad a fháil acquainted leis na coincheapa bunúsacha a bhaineann ó nádúr leis an sainmhíniú. Agus beidh muid ag tosú leis an difreálach.

difreálach

Fhios ag a lán daoine an téarma ó scoil ard. Mar sin féin, dwell fós ar sé go mion. Samhlaigh an graf na feidhme. Is féidir linn é a mhéadú, go feadh méid a thagann chun bheith aon cheann dá mírlíne líne dhíreach. Tógfaidh sé dhá phointe atá infinitely gar dá chéile. Is é an difríocht idir (x nó y) a comhordanáidí infinitesimal. Agus is é ainm difreálach agus carachtair dy (difreálach de y) agus dx (an difreálach x) a ainmniú. Tá sé tábhachtach a thuiscint nach bhfuil an difreálach an luach deiridh, agus tá sé seo an bhrí agus an fheidhm is mó.

Agus anois ní mór duit a mheas na gnéithe seo a leanas, beidh a ní mór dúinn a mhíniú ar an gcoincheap chothromóid dhifreálach. Tá sé - díorthach.

díorthach

Ní mór do gach duine againn gur chuala ar scoil agus ar an gcoincheap sin. Deir siad go bhfuil an díorthach - Is é an ráta fáis nó laghdú na feidhme. Ach thiocfaidh chun bheith an sainmhíniú níos mearbhaill. Lig dúinn iarracht a mhíniú na téarmaí díorthach na difríochtaí. A ligean ar dul ar ais chuig an fheidhm eatramh infinitesimal le dhá phointe, atá suite ar fad a laghad óna chéile. Ach fiú níos faide ná an fheidhm achar Is am a athrú le roinnt luach. Agus cur síos don athrú sin agus teacht suas le díorthach a bheadh a scríobh ar shlí eile mar an cóimheas idir na difreálaigh: f (x) '= df / dx.

Anois, tá sé riachtanach a mheas na hairíonna bunúsacha an díorthaigh. Níl ach trí:

1. Is féidir le suim díorthacha nó an difríocht a léiriú mar an tsuim nó difríocht na ndíorthach: (a + b) '= a' + b ', agus (ab)' = Ã-b '.
2. Is é an dara maoin a bhaineann le iolrú. oibreacha díorthach - é an suim na n-oibreacha de fheidhm amháin go ceann eile díorthach: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Is féidir leis an díorthach an difríocht a scríobh mar an chothromóid seo a leanas: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Gach na gnéithe seo teacht i handy chun réitigh a fháil ar chothromóidí sna chéad ordú difreálach.

Chomh maith leis sin, tá díorthaigh páirteach. Cuir ní mór dúinn feidhm de chuid an z, a bhraitheann ar na hathróga x agus y. Chun an díorthach páirteach ar an fheidhm seo, mar shampla, i x, ní mór dúinn a chur ar an y athróg do leanúnach agus éasca chun idirdhealú a.

lárnach

thábhachtach eile coincheap - lárnach. Go deimhin, tá sé an os coinne na díorthach. Tá integrals cineálacha éagsúla, ach tá na réitigh is simplí na cothromóidí difreálach, ní mór dúinn an chuid is mó fánach integrals éiginnte.

Mar sin, cad é an lárnach? Ligean le rá go bhfuil muid gaol f ar x. Glacann muid as é an lárnach agus a fháil feidhm F (x) (tá sé dá minic mar primitive), a bhfuil díorthach an fheidhm bunaidh. Dá bhrí sin, F (x) '= f (x). Sé seo le tuiscint freisin go bhfuil an dhílis de na díorthach comhionann leis an fheidhm bunaidh.

I réiteach cothromóidí difreálach tá sé an-tábhachtach a thuiscint an bhrí agus feidhm an bunúsach, ós rud é go bhfuil an-minic a ghlacadh dóibh chun réiteach a fháil.

Is iad na cothromóidí éagsúla ag brath ar a nádúr. Sa roinn seo chugainn beidh muid ag breathnú ar na cineálacha ar chothromóidí den chéad ordú difreálach, agus ansin foghlaim conas iad a réiteach.

Aicmí na cothromóidí difreálach

"Diffury" roinnte ar ordú díorthach a bhfuil baint acu leo. Dá bhrí sin tá an chéad, an dara, an tríú nó níos mó ordú. Is féidir iad a roinnt freisin i ranganna éagsúla: gnáth agus go páirteach.

San Airteagal seo, beidh muid ag smaoineamh na cothromóidí difreálach gnáth den chéad ordú. Samplaí agus réitigh phlé againn sna codanna seo a leanas. Breithnímid ach an TAC toisc go bhfuil sé na cineálacha is coitianta de cothromóidí. Gnáth roinnte ina subspecies: le hathróga doscartha, aonchineálach agus ilchineálacha. Next beidh tú ag foghlaim conas a ionann iad óna chéile, agus foghlaim conas iad a réiteach.

Lena chois sin, is féidir leis na cothromóidí a chur le chéile, ionas gur tar éis a fháil againn córas na cothromóidí difreálach den chéad ord. Córais den sórt sin, ní mór dúinn breathnú freisin ar agus foghlaim conas a réiteach.

Cén fáth a bhfuil muid ag smaoineamh ach an chéad ordú? Toisc go bhfuil sé riachtanach chun tús a chur le simplí agus cur síos ar gach a bhaineann leis an cothromóidí difreálach, in earra amháin go bhfuil sé dodhéanta.

Cothromóidí le hathróga indeighilte

Is dócha gurb é an chéad cothromóidí difreálach ordú is simplí. y '= f (x) * f (y): samplaí is féidir a scríobh mar iad seo. Chun fhadhb seo a chothromóid ní mór dúinn an fhoirmle ionadaíocht ar an díorthach mar an cóimheas idir na difreálaigh: y '= dy / dx. Le linn é a fháil ar an chothromóid: dy / dx = f (x) * f (y). Anois is féidir linn dul go dtí an modh a réiteach samplaí caighdeánacha: ar leith na n-athróg i gcodanna, ie go tapa ar aghaidh go léir an y athróg sa chuid ina bhfuil dy, agus freisin a dhéanamh ar an x athróg ... fháil againn cothromóid an fhoirm: dy / f (y) = f (x) dx, a bhaint amach trí cur na integrals an dá chuid. Ná déan dearmad faoi an tairiseach gur mian leat a chur i ndiaidh chomhtháthú.

Is feidhm de chuid x ag y (inár gcás), nó má tá coinníoll uimhriúil, is é an freagra uimhir - An réiteach ar aon "diffura". Lig dúinn scrúdú a dhéanamh ar sampla nithiúil ar an gcúrsa iomlán an chinnidh:

y '= 2y * sin (x)

Aistriú na hathróga i dtreonna difriúla:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Anois, a chur ar an integrals. Is féidir le gach ceann acu le fáil i dtábla ar leith de integrals. Agus a fháil againn:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Más gá, is féidir linn a chur in iúl ar an "y" mar fheidhm de "X". Anois is féidir linn a rá go bhfuil ár n-chothromóid dhifreálach a réiteach, más rud é nach bhfuil sonraithe choinníoll. An féidir a shonrú choinníoll, mar shampla, y (n / 2); e. Ansin, beidh muid ag ionad ach an luach na n-athróg sa chinneadh agus a fháil ar an luach an tairiseach. I ár shampla, tá sé 1.

cothromóidí difreálach aonchineálach chéad ordú

Anois ar aghaidh go dtí na codanna níos casta. Is féidir le cothromóidí aonchineálach chéad ordú difreálach Is féidir a scríobh i bhfoirm ginearálta mar: y '= z (x, y). Ba chóir a thabhairt faoi deara go bhfuil an fheidhm ceart dhá athróg éide, agus ní féidir é a roinnt ina dhá ag brath ar: z x agus z an y. Seiceáil an bhfuil an chothromóid aonchineálach nó nach bhfuil, simplí go leor: a théimid ar a chur in ionad x = k * x agus y = k * y. Anois gearrtha muid go léir k. Má tá na litreacha thit, ansin an chothromóid aonchineálach agus is féidir dul ar aghaidh go sábháilte go dtí a réiteach. Ag féachaint romhainn, deirimid: Is é an prionsabal na an réiteach ar na samplaí freisin an-simplí.

Ní mór dúinn a dhéanamh ar a chur in ionad: = y t (x) * x, áit a bhfuil t - feidhm go bhfuil ag brath chomh maith ar an x. Ansin, is féidir linn a chur in iúl an díorthach: y '= t' (x) * x + t. Chur in ionad seo go léir isteach inár chothromóid bunaidh agus a shimpliú é, ní mór dúinn an sampla ar an scaradh na n-athróg t mar x. Réitigh é agus an spleáchas ar t (x) a fháil. Nuair a fuair muid é, ach in ionad ár ionadú roimhe y = t (x) * x. Ansin dúinn a fháil ar an spleáchas ar y ar x.

Chun é a dhéanamh níos soiléire é, beidh muid a thuiscint, mar shampla: x * y '= yx * e y / x.

Nuair a sheiceáil in ionad na fad meath. Mar sin, is é an chothromóid i ndáiríre aonchineálach. Anois a dhéanamh a chur in ionad eile, phléamar: = y t (x) * x agus y '= t' (x) * x + t (x). I ndiaidh simpliú an chothromóid seo a leanas: t '(x) * x = -e t. Cinneadh a dhéanamh againn chun sampla le hathróga scartha agus ^{a fhaigheann muid: e -t = ln (C *} x). Ní mór dúinn ach a chur in ionad t ag y / x (mar má y = t * x, ansin t = y / x), agus a fhaigheann muid ar an ^{freagra: e -y / x = ln (} x * C).

chothromóid dhifreálach líneach an chéad ordú

Tá sé am chun smaoineamh ar ábhar leathan eile. Beidh muid ag breathnú cothromóidí difreálach ilchineálach chéad-ordú. Conas a dhéanann siad éagsúil leis an dá roimhe sin? A ligean ar aghaidh é. Is féidir le athróg ordú difreálach Líneach i bhfoirm ginearálta na cothromóide Is féidir a scríobh mar seo: y '+ g (x) y * = z (x). Ba cheart a shoiléiriú gur féidir z (x) agus g (x) a luachanna tairiseach.

Seo sampla: y '- y * x = x ^2.

Tá dhá bhealach ann chun réiteach, agus táimid chun Lig dúinn scrúdú a dhéanamh ar an mbeirt acu. An chéad cheann - an modh athrú tairisigh treallach.

Chun réitigh an chothromóid ar an mbealach seo, tá sé riachtanach a ionann an chéad thaobh na láimhe deise go nialas, agus réitigh an chothromóid mar thoradh air a thiocfaidh chun bheith tar éis an t-aistriú na codanna:

y '= y * x =

dy / dx = y * x =

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = ^x2 e ^{/ 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Anois, tá sé riachtanach a chur in ionad an tairiseach C ₁ ar an bhfeidhm v (x), a beidh muid ag teacht.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Tarraing díorthach athsholáthair:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

A scriosadh agus na habairtí isteach sa chothromóid bunaidh:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Is féidir leat a fheiceáil go ar an taobh clé den dá théarma a laghdú. Mura éigin sampla ní raibh a tharlaíonn, ansin déanta agat rud éigin mícheart. Leanaimid de bheith ag:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Anois, táimid ag réitigh an chothromóid gnách inar mian leat í a dheighilt ón athróg:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * r ^{- x2 / 2} dx.

A bhaint as an dhílis, ní mór dúinn a chur i bhfeidhm ar an comhtháthú le codanna anseo. Mar sin féin, nach é seo an t-ábhar an t-airteagal seo. Má tá suim agat, is féidir leat a fhoghlaim ar a gcuid féin a chur i gcrích gníomhaíochtaí den sórt sin. Níl sé deacair, agus le go leor scil agus cúram nach bhfuil Tógann am.

Ag tagairt don dara modh an réiteach na cothromóidí inhomogeneous: Modh Bernoulli. Cén cur chuige is tapúla agus níos éasca - tá sé suas a thabhairt duit.

Mar sin, nuair a réiteach an modh seo, ní mór dúinn a dhéanamh ar a chur in ionad: y = k * n. Anseo, k agus n - roinnt feidhmeanna ag brath ar x. Ansin, beidh an díorthach cuma mhaith: y '= k' * n + k * n '. dhá substitutions a chur in ionad sa chothromóid:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grúpa suas:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Anois, tá sé riachtanach a cothrom le nialas, is é sin i lúibíní. Anois, má tá tú le chéile an dá chothromóid mar thoradh air, a fháil againn córas na cothromóidí difreálach chéad ordú a réiteach:

n '+ x * n = 0;

* K 'n = x ^2.

An chéad comhionannas chinneadh cé an chothromóid gnách. Chun seo a dhéanamh, ní mór duit í a dheighilt ón athróg:

DN / dx = x * v;

DN / n = xdx.

Glacann muid ar an lárnach agus a fháil againn: ln (n) = x ^2/2. Ansin, má táimid a chur in iúl n:

n = e ^{x2 / 2.}

Anois in ionad an chothromóid a lánpháirtiú sa dara chothromóid:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Agus athrú, ní mór dúinn a fháil ar an chothromóid chéanna atá leis sa chéad modh:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Ní bheidh muid aghaidh tuilleadh plé a dhéanamh freisin. Tá sé sin go bhfuil ag cothromóidí difreálach chéad chéad-ordú is cúis réiteach deacrachtaí móra. Mar sin féin, tá tumtha níos doimhne sa topaic ag tosú a fháil níos fearr agus níos fearr.

Sa chás go bhfuil cothromóidí difreálach?

cothromóidí An-ghníomhach difreálach a úsáidtear san fhisic, mar beagnach gach na dlíthe bunúsacha atá scríofa i bhfoirm difreálach, agus iad siúd foirmlí, a fheiceann muid - réiteach ar na cothromóidí. Sa cheimic, úsáidtear iad ar an gcúis chéanna: na dlíthe bunúsacha atá díorthaithe trí iad. Go bhitheolaíocht, na cothromóidí difreálach a úsáidtear chun múnla an iompar na gcóras, ar nós creachadóir - chreiche. Is féidir iad a úsáid freisin chun samhlacha atáirgeadh a chruthú, mar shampla, coilíneachtaí na microorganisms.

Mar cuidiú cothromóidí difreálach i saol?

Is é an freagra don cheist seo shimplí: rud ar bith. Mura bhfuil tú eolaí nó innealtóir, ní dócha go mbeidh siad úsáideach. Ní Mar sin féin, Gortaítear a fháil amach cad an chothromóid dhifreálach agus tá sé réiteach maidir le forbairt fhoriomlán. Agus ansin an cheist maidir le mac nó iníon, "cad a chothromóid dhifreálach?" ná cuir tú i deireadh marbh. Bhuel, má tá tú eolaí nó innealtóir, ansin a fhios agat an tábhacht a bhaineann an ábhar seo in aon eolaíocht. Ach is tábhachtaí, go bhfuil anois ar an cheist "conas a réitigh an chothromóid dhifreálach an chéad ordú?" beidh tú i gcónaí in ann freagra a thabhairt. Aontaigh, tá sé deas i gcónaí nuair a realize tú go bhfuil an méid daoine fiú eagla a fháil amach.

Na fadhbanna is mó sa staidéar

Is í an fhadhb is mó sa tuisceana ar an ábhar seo le droch-nós de feidhmeanna slánchóirithe agus difreálú. Má tá tú míchompordach díorthaigh agus integrals TOIMHDÍONN, is dócha fiú níos mó a fhoghlaim, chun foghlaim modhanna éagsúla de chomhtháthú agus difreálú, agus gan ach ansin dul ar aghaidh leis an staidéar ar an t-ábhar a cuireadh síos air san alt.

Tá roinnt daoine go bhfuil ionadh a fhoghlaim gur féidir dx a aistriú, mar a bhí roimhe (sa scoil) argóint go bhfuil an codán dy / dx doroinnte. Ansin, is gá duit a léamh ar an litríocht ar an díorthach agus a thuiscint go bhfuil sé an dearcadh na gcainníochtaí gan teorainn beag, is féidir a manipulated i cothromóidí a réiteach.

Níl go leor daoine realize láithreach go bhfuil an réiteach na cothromóidí difreálach den chéad ordú - tá sé seo go minic le feidhm nó neberuschiysya dhílis, agus tugann sé seo delusion iad go leor trioblóide.

Cad eile is féidir staidéar a dhéanamh chun tuiscint níos fearr?

Is fearr chun tús a chur níos mó tumoideachais i saol na calculus difreálach téacsleabhar speisialaithe, mar shampla, i anailís matamaiticiúla do mhic léinn na speisialtachtaí neamh-mhatamaiticiúil. Is féidir leat dul ansin chuig an litríocht níos speisialaithe.

Tá sé sin go, chomh maith leis an difreálach, fós tá cothromóidí lárnach, mar sin beidh ort i gcónaí rud éigin a dícheall chun agus cad atá le staidéar.

Mar fhocal scoir

Tá súil againn gur tar éis léamh an alt seo beidh ort smaoineamh ar cad na cothromóidí difreálach agus conas iad a réiteach i gceart.

In aon chás, matamaitic ar aon slí úsáideach dúinn sa saol. Forbraíonn sé loighic agus aire, gan a bhfuil gach fear, mar atá gan lámha.