Maclaurin agus lobhadh roinnt feidhmeanna

Ag déanamh staidéir ar mhatamaitic chun cinn Ba chóir go mbeadh a fhios go bhfuil an tsuim de shraith cumhachta san eatramh an chóineasaithe roinnt de dúinn, ar roinnt leanúnach agus neamhtheoranta na n-amanna feidhm difreáilte. Ardaítear an cheist: tá sé féidir a mhaíomh gur tugadh feidhm treallach f (x) - é an suim shraith cumhachta? Is é sin, na coinníollacha faoina is féidir leis an f-ailt f (x) a léiriú trí shraith cumhachta? Is é an tábhacht a bhaineann leis an gceist seo gur féidir a chur in ionad tuairim is £ Diagachta f (x) é an suim na chéad chúpla théarma de shraith cumhachta, is é sin le polynomial. Tá a leithéid de fheidhm athsholáthair léiriú simplí go leor - polynomial - tá sé áisiúil agus i réiteach fadhbanna áirithe sa anailís matamaiticiúla, is iad sin i integrals réiteach á ríomh cothromóidí difreálach , etc ...

Tá sé cruthaithe, gur le haghaidh roinnt f-ii f (x), wherein is féidir leis an díorthaigh de na (n + 1) ordú -th a ríomh, lena n-áirítear a dhéanaí i gcomharsanacht (α - R; x ₀ + R) de phointe x = α Is foirmle cothrom:

Tá an fhoirmle ainmnithe i ndiaidh an t-eolaí cáiliúil Brooke Taylor. Tá roinnt atá díorthaithe ó an ceann roimhe, ar a dtugtar sraith Maclaurin:

A riail a dhéanann sé indéanta leathnú i sraith Maclaurin a thabhairt ar aird:

1. díorthaigh de chéad, an dara, an tríú, ... ordú chinneadh.
2. Ríomh cad iad díorthaigh ag x = 0.
3. Taifead Maclaurin sraith do fheidhm seo, agus ansin chun a chinneadh an t-eatramh an chóineasaithe.
4. Socraigh eatramh (-R; R), i gcás an chuid iarmharach foirmle Maclaurin

R _n (x) -> 0 ar feadh n -> Infinity. Má ann dó, ní mór dó an fheidhm f (x) a bheith cothrom le suim an tsraith Maclaurin.

Smaoinigh anois ar an tsraith Maclaurin le haghaidh na feidhmeanna aonair.

1. Dá bhrí sin, an chéad cheann a f (x) = e ^x. Ar ndóigh, go bhfuil a saintréithe sin f-Ia tar díorthaithe éagsúla na n-orduithe, agus f ^{(k) (x)} = e ^x, áit a bhfuil k comhionann le gach na huimhreacha aiceanta. A chur in ionad x = 0. fháil againn f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Bunaithe ar an méid sin roimhe, roinnt r ^x Beidh sé mar seo a leanas:

2. tsraith Maclaurin le haghaidh na feidhme f (x) = sin x. Láithreach a shonrú go f-ailt do gach díorthach anaithnid mbeidh, sa bhreis ar f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = x -sin = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), áit a bhfuil k comhionann le haon slánuimhir dheimhneach. Is é sin, a dhéanamh ríomhaireachtaí simplí, is féidir linn a thabhairt i gcrích go bhfuil an tsraith le haghaidh f (x) = a sin x a bheith mar seo:

3. Anois, a ligean ar a mheas iju f-f (x) = cos x. tá sé ar eolas do gach díorthach den ord treallach, agus ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Arís, a bheith á dhéanta roinnt ríomhaireachtaí, feicimid go bhfuil an tsraith le f = cos x (x) a breathnú mar seo:

Mar sin, ní mór dúinn a liostaítear na gnéithe is tábhachtaí is féidir a leathnú i sraith Maclaurin, ach is comhlánú iad tsraith Taylor le haghaidh roinnt feidhmeanna. Anois, beidh muid liosta dóibh chomh maith. Ba chóir a thabhairt faoi deara chomh maith go bhfuil sraith Taylor agus tsraith Maclaurin cuid thábhachtach den tsraith ceardlann cinntí sa mhatamaitic níos airde. Mar sin, Taylor sraith.

1. Is é an chéad sraith de f-ii f (x) = ln (1 + x). Mar a tharla sa samplaí roimhe seo, ar an a chuirimid ar f (x) = ln (1 + x) a fhilleadh uimhir, ag baint úsáide as an bhfoirm ginearálta tsraith Maclaurin. murach an ghné seo is féidir Maclaurin a fháil i bhfad níos éasca. Comhtháthú sraith iolraíoch, mór dúinn a fháil ar roinnt do f (x) = ln (1 + x) den sampla:

2. Agus an dara, a bheidh críochnaitheach san Airteagal seo, ina sraith d'f (x) = x arctg. Maidir le x a bhaineann leis an eatramh [-1; 1] Is dianscaoileadh bailí:

Sin uile. San Airteagal seo, tá mé suirbhé orthu an tsraith Taylor is mó a úsáidtear agus tsraith Maclaurin sa mhatamaitic níos airde, go háirithe sna coláistí eacnamaíocha agus teicniúla.