Córas na cothromóidí ailgéabracha líneach. Córas aonchineálach de cothromóidí ailgéabracha líneacha

Ar scoil, staidéar gach duine againn an chothromóid agus, cinnte, an córas na cothromóidí. Ach níl a fhios go leor daoine go bhfuil roinnt bealaí chun iad a réiteach. Sa lá atá inniu beidh muid a fheiceáil go díreach as na modhanna maidir le córas na cothromóidí ailgéabracha líneach, atá comhdhéanta de níos mó ná dhá chothromóid a réiteach.

scéal

Sa lá atá inniu a fhios againn go bhfuil an ealaín na cothromóidí agus a gcóras réiteach tháinig sa Babylon ársa agus an Éigipt. Mar sin féin, bhí an chuma comhionannas ina bhfoirm eolas a chur chugainn tar éis tharla an comhartha comhionann "=", a tugadh isteach in 1556 de réir thaifead matamaiticeoir Béarla. Dála an scéil, gur roghnaíodh an tsiombail ar chúis: ciallaíonn sé dhá mhír chothroma comhthreomhar. Go deimhin, nach bhfuil an sampla is fearr an chomhionannais teacht suas.

An bunaitheoir litreoireacht nua-aimseartha agus siombailí na méid anaithnid, an matamaiticeoir Francach Fransua Viet. Mar sin féin, is é a ainmniú bhfuil difríocht shuntasach idir an lae inniu. Mar shampla, cearnóg go bhfuil uimhir anaithnid ainmniú aige ag an litir Q (lat "quadratus".), Agus an ciúb - (. Lat "cubus") an litir C. Na siombailí cosúil anois míchompordach, ach ansin bhí sé ar an mbealach is iomasach a scríobh córas na cothromóidí ailgéabracha líneach.

Ach bhí faoi mhíbhuntáiste sna modhanna réim de thuaslagán go bhfuil matamaiticeoirí san áireamh ach amháin na fréamhacha dearfach. B'fhéidir gurb é seo mar gheall ar an bhfíric nach bhfuil luachanna diúltacha ar bith i bhfeidhm praiticiúil. Bhealach amháin nó eile, ach an chéad cheann a chur san áireamh thosaigh fréamhacha diúltach i ndiaidh na matamaitice hIodáile Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano agus Raphael Bombelli sa 16ú haois. Súil nua-aimseartha, an príomh-mhodh a réiteach cothromóidí cearnacha (trí discriminant) a bunaíodh ach amháin sa 17ú haois trí na n-oibreacha de Descartes agus Newton.

I lár an matamaiticeoir hEilvéise 18ú haois fuair Gabriel Cramer ar bhealach nua a dhéanamh ar an réiteach ar córas na cothromóidí líneacha níos éasca. Cuireadh an modh seo ainmníodh ina dhiaidh sin i ndiaidh dó, agus ar an lá a úsáidimid é. Ach ar an modh cainte Kramer ar beagán níos déanaí, ach faoi láthair beidh muid ag plé a dhéanamh ar cothromóidí líneacha agus a n-réitigh ar leithligh ón gcóras.

cothromóidí líneacha

cothromóidí líneacha - an chothromóid simplí le athróg (í). Mbaineann siad leis an ailgéabrach. Cothromóidí líneacha scríofa san fhoirm ginearálta mar seo a leanas: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... agus _n * x _n = b. Cur isteach an fhoirm seo beidh orainn in ullmhú na gcóras agus maitrísí ar.

Córas na cothromóidí ailgéabracha líneacha

Is é an sainmhíniú ar an téarma: sraith de cothromóidí a bhfuil unknowns coiteann agus an réiteach ginearálta. De ghnáth, ar scoil réiteach go léir le córas le dhá nó fiú trí cothromóidí. Ach tá na córais le ceithre nó níos mó comhpháirteanna. A ligean ar a fheiceáil an chéad conas a scríobh síos iad sa dóigh is go ina dhiaidh sin bhí sé áisiúil a réiteach. Sa chéad áit, beidh an córas na cothromóidí ailgéabracha líneacha cuma níos fearr má tá na hathróga scríofa mar x leis an innéacs comhfhreagrach: 1,2,3 agus mar sin de. Dara dul síos, ba chóir é a thoradh ar gach na cothromóidí leis an bhfoirm Canonical: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... agus _n * x _n = b.

Tar éis an tsaoil na céimeanna seo, is féidir linn tús a insint duit conas a fháil ar an réiteach na córais cothromóidí líneacha. Beidh go mór do a thagann i maitrís handy.

maitrís

Matrix - tábla sin comhdhéanta de línte agus na gcolún, agus na heilimintí atá ag a dtrasnaíonn. Is féidir é seo a bheith ina luach ar leith nó athraitheach. I bhformhór na gcásanna, gur le haghaidh eilimintí go bhfuil shocraigh thíos an foscripteanna (m.sh., a ₁₁ nó ₂₃ go maith) a ainmniú. Léiríonn an chéad innéacs an uimhir as a chéile, agus an dara - an colún. Is féidir le maitrísí Thar aon ní eile mar atá thuas agus aon ghné matamaitice eile oibríochtaí éagsúla. Dá bhrí sin, is féidir leat:

1) Dealaigh agus cuir an méid céanna den tábla.

2) Méadaigh an maitrís le haon uimhir nó veicteoir.

3) Trasuigh: athrú línte maitrís sna colúin, agus na colúin - ag teacht.

4) Méadaigh an maitrís, má tá an líon na línte is ionann agus duine amháin acu ar líon difriúil de colúin.

A phlé go mion gach ceann de na teicníochtaí, mar go bhfuil siad úsáideach dúinn sa todhchaí. Is Dealú agus Chomh maith leis na maitrísí an-simplí. Ós rud é a chur orainn an maitrís méid céanna, tá gach gné de tábla amháin a bhaineann le gach gné eile. Dá bhrí sin, cuirimid (dealaigh) dhá cheann de na heilimintí (tá sé tábhachtach go raibh siad ina seasamh ar an talamh céanna ina maitrísí). Nuair iolrú faoi líon na maitrís nó veicteora a iolrú leat go simplí gach eilimint den maitrís ag an uimhir (nó veicteoir). Trasuíomh - próiseas an-suimiúil. An-suimiúil uaireanta a fheiceáil i saol fíor, mar shampla, nuair a athrú ar an treoshuíomh tablet nó ar an bhfón. Tá an deilbhíní ar an deasc maitrís, agus le athrú ar an staid, tá sé thrasuí agus a thiocfaidh chun bheith níos leithne, ach laghdaíonn ar airde.

Lig dúinn scrúdú a dhéanamh ar níos mó próiseas cosúil iolrú maitrís. Cé gur inis sé dúinn, agus nach bhfuil úsáideach, ach bíodh a fhios tá sé fós úsáideach. Méadaigh is féidir dhá maitrísí ach amháin ar an gcoinníoll go bhfuil an líon na colúin sa tábla amháin comhionann le líon na sraitheanna eile. Anois, a chur eilimintí líne amháin maitrís agus ar eilimintí eile den colún comhfhreagrach. iad Méadaigh dá chéile agus ansin suim (.i, mar shampla, a táirge na n-eilimintí ₁₁ agus ₁₂ agus ag ₁₂ b agus ₂₂ b bheidh ar cóimhéid le: a * b _{11 12} + ₁₂ * b agus _22). Dá bhrí sin, tá súil le mír tábla amháin, agus modh céanna leis líonadh thuilleadh.

Anois is féidir linn tús a chur breathnú ar conas a córas na cothromóidí líneacha a réiteach.

Gauss

Thosaigh an téama seo ar siúl ar scoil. Tá a fhios againn go han-mhaith ar an gcoincheap "córas de dhá chothromóid líneacha" agus tá a fhios conas iad a réiteach. Ach cad má tá an líon na cothromóidí níos mó ná dhá? Cabhróidh sé seo linn an modh Gauss.

Ar ndóigh, tá an modh seo áisiúil chun úsáid, má dhéanann tú maitrís an chórais. Ach ní féidir leat é a thiontú agus cinneadh a dhéanamh ar a chuid féin.

Mar sin, conas a réiteach é ag córas na cothromóidí líneacha Gauss? Dála an scéil, cé go an modh seo agus ainmnithe i ndiaidh dó, ach fuair sé amach sé i ré ársa. Gauss Tá an oibríocht i gcrích leis na cothromóidí, a thoradh ar dheireadh iomláine leis an bhfoirm echelon. Is é sin, ní mór duit a ó bharr anuas (más i gceart) ón gcéad go dtí an chothromóid seo caite waned amháin anaithnid. I bhfocail eile, ní mór dúinn a chinntiú go againn fuair, a rá, trí cothromóidí: an chéad - trí unknowns, sa dara - dhá cheann sa tríú - ceann. Ansin, as an chothromóid seo caite, feicimid an chéad anaithnid, a luach a chur in ionad sa dara nó an chéad chothromóid, agus tuilleadh teacht ar an dá athróg eile.

riail Cramer ar

D'fhorbairt an teicníc is ríthábhachtach chun máistreacht ar scileanna suimiú, dealú maitrísí, chomh maith leis an ngá a bheith in ann chinntithigh aimsiú. Dá bhrí sin, má tá tú míchompordach é seo a dhéanamh go léir nó níl a fhios conas, tá sé riachtanach a fhoghlaim agus a bheith oilte.

Cad é an mór inneachar sár-an modh seo, agus conas sin a dhéanamh, a fháil ar chóras na cothromóidí líneacha Cramer? Tá sé an-simplí. Ní mór dúinn a thógáil maitrís uimhreacha (beagnach i gcónaí) na comhéifeachtaí a bhaineann le córas na cothromóidí ailgéabracha líneach. Chun seo a dhéanamh, a ghlacadh ach an líon na anaithnid, agus linn a shocrú tábla san ord go déantar iad a thaifeadadh sa chóras. Más rud é sula bhfuil an uimhir comhartha "-", ansin scríobh againn comhéifeacht diúltach. Mar sin, rinne muid an chéad maitrís an comhéifeachtaí na unknowns, nach n-áirítear an uimhir i ndiaidh an comhartha comhionann (ar ndóigh, nach mór a laghdú go dtí an fhoirm Canonical an chothromóid nuair a bhíonn an ceart ach roinnt, agus ar an taobh clé - go léir na unknowns le comhéifeachtaí). Ansin, is gá duit a dhéanamh ar roinnt maitrísí - ceann do gach athróg. Chun na críche sin, sa chéad maitrís in ionad aon cholún gach huimhreacha colún leis na comhéifeachtaí tar éis an comhartha comhionann. Dá bhrí sin linn a fháil ar roinnt maitrísí agus ansin teacht ar a gcuid deitéarmanaint.

Tar éis a fuair muid na cailitheoirí, tá sé beag. Táimid tar éis maitrís tosaigh, agus tá a dhíorthaítear maitrísí éagsúla, a fhreagraíonn do na hathróga éagsúla. Chun a fháil ar réiteach do chóras, roinntear an cinntitheach an tábla mar thoradh ar an cinntitheach príomhúil ag an tábla. Is é an uimhir mar thoradh ar an luach na athróg amháin. Mar an gcéanna, feicimid go léir na unknowns.

modhanna eile

Tá roinnt modhanna chun a fháil ar an réiteach na córais cothromóidí líneacha. Mar shampla, baineann ar a dtugtar modh Gauss-Jordan, a úsáidtear le haghaidh réitigh ar an gcóras na cothromóidí cearnacha a aimsiú, agus chomh maith leis an úsáid a bhaint as maitrísí. Is modh Jacobi do chóras na cothromóidí ailgéabracha líneacha a réiteach chomh maith. adapts sé go héasca go dtí gach ríomhaire agus a úsáidtear le linn.

cásanna casta

Coimpléascacht tharlaíonn de ghnáth má tá an líon na cothromóidí níos lú ná líon na n-athróg. Ansin, is féidir linn a rá go cinnte go bhfuil, nó go bhfuil an córas ar neamhréir (is é sin, nach bhfuil aon fréamhacha), nó bíonn an líon a chinntí go Infinity. Má táimid tar éis an dara cás - tá sé riachtanach a scríobh ar an réiteach ginearálta an chórais cothromóidí líneacha. Beidh sé san áireamh athróg ar a laghad.

Mar fhocal scoir

Anseo teacht againn ar an deireadh. Mar achoimre: ní mór dúinn a thuiscint cad é an maitrís chórais, d'fhoghlaim chun teacht ar an réiteach ginearálta a bhaineann le córas na cothromóidí líneacha. Lena chois sin mheasamar roghanna eile. Figured muid amach conas a córas na cothromóidí líneacha a réiteach: deireadh a chur Gaussach agus riail Cramer ar. Labhraíomar faoi chásanna deacra agus bealaí eile réitigh a fháil.

Go deimhin, tá an cheist seo i bhfad níos fairsinge, agus más mian leat chun tuiscint níos fearr é, moltar duit a léamh níos mó de na litríocht speisialaithe.